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上期我们和大家分享了Delta对冲的模拟方法，这期我们将简单介绍如何使用QuantPlus Analytics和VBA模拟静态的Delta-Gamma对冲，即hedge and forget。

什么是Delta和Gamma

接上篇文章，欧式期权定价通常考虑6个参数，分别是无风险利率，股票现价，分红率，行权价格，时间长度，波动率。

在这里，我们假定其他5个因素不变，考虑股价在一个极小的时间段内发生变化，对欧式期权的理论价格的影响。在数学中，偏导数可以衡量影响的大小，所以我们做如下的定义：

期权价格对股票价格求一阶导数可以得到Delta()

期权价格对股票价格求二阶倒数可以得到Gamma($\Gamma$)

Delta对股票价格求一阶导数可以得到Gamma

这里简单介绍一下Delta-Gamma对冲的原理和思路。从上篇文章中，我们已经了解到，期权的Delta通常不是常数，是一个在时刻随股价变化而变化的值，交易员需要时刻调整持仓数量以达到Delta中性，为了方便交易员进行对冲，我们引入了Gamma的概念，交易员只需做到Delta-Gamma的中性，并且不用频繁地调整仓位，也可以对风险进行控制。

用数学表示如下：

根据这个方程，我们可以求得使投资组合达到Delta-Gamma中性的两种期权的个数。

在Delta和Gamma都达到中性时，由于Gamma是Delta对股价的偏导数，则当股价变化量

较小时，Delta不会发生变化，所以交易员不用调整仓位。

实例演示

同上篇文章一样，参考

http://www.nasdaq.com/symbol/ibm/option-chain/160415C00120000-ibm-call和

http://www.dividend.com/dividend-stocks/technology/diversified-computer-systems/ibm-ibm-corp

可以获得IBM的2016/4/15到期的权益期权的相关信息，

该期权的行权价格是120美元，是一个欧式看涨期权，隐含波动率为0.27572。在2016/1/14时，IBM的股价为132.91美元，无风险利率我们选择3个月的LIBOR，为0.62%，连续红率为3.91%。

我们将演示如何通过Excel进行对冲。注意到有两个实例文件，我们将分别进行讲解。

在两个示例文件中，我们都假设估值日为2016/1/14。

打开示例文件Delta Gamma Hedging，此文件模拟了十周中每周的股价，并模拟出了投资组合的时间序列数据，打开示例文件中的“利润”表，可以看到：

图1：“利润”表

在此文件中，我们可以输入当期股价，选择两个期权的strike大小，以及是看涨期权(call)还是看跌期权(put)。

参考图2，该表可以模拟在进行delta对冲时，期权+股票组合的利润情况。

图2：输入、输出

图2 的说明如下：

Strike1就是用户希望进行Delta-Gamma对冲的期权1的行权价格，可以根据市场上所有的期权输入相应的行权价格。

Strike2就是用户希望进行Delta-Gamma对冲的期权2的行权价格，可以根据市场上所有的期权输入相应的行权价格。

用户可以选择使用call还是put

股票数量是用户输入的内容。

当前股价是股票的价格，可以从相关网站上获得相关数据，也可以用wind的函数直接获得。

初始投资是经计算得出的结果。

初始期权数量是用户输入的数据。

在这个例子中，经系统计算，达到保持Delta-Gamma中性所需要的期权1(行权价格是132)数量是﹣26808，即卖出26808份，所需期权2(行权价格是133)的数量是26761。由于初始期权1和期权2的数量都是1000，所以需卖出27808份期权1，买入25761份期权2。

接着我们回到左边的表格，注意到有3个按钮：

图3：3个按钮

点击按钮“生成随机的股价”可以生成一系列随机的股价，如下图：

图4：随机生成每周的股价

从图4中，我们能看到133.1587是模拟出的一周后的股价，128.0946是过了10周后的股价。如果用户不希望使用随机模拟的股价，也可以随意输入股价进行模拟。

按下“模拟Delta Gamma对冲”可以用刚才随机生成的股价进行Delta Gamma对冲的模拟。

图5：利润表

从图5中可以看出，在这次模拟中，过了一周后，股价为133.1587，累积利润为﹣66.9606，过了两周后，股价为132.8298，累计利润为﹣264.3098。

按下“生成股价并对冲”按钮，相当于先按“生成随机的股价”，再按“模拟delta对冲”。

同时，我们还制作了第二个Excel文件，打开“Delta Gamma对冲_2”的利润表

图6：Delta Gamma对冲_2的“利润”表

对比这个文件和上个文件可以发现，在此文件中，并没有进行股价的随机模拟，而是计算了每一个股价所对应的利润，用户需要输入周数，比如在实例文件中，我们输入了4，就是计算在4周后，各个股价所对应的利润。

图7：4周后利润与股价的关系

仔细观察图7，可以发现当股价变化范围在120-170之间时，利润较为稳定。

结论及未来展望

总得来说，Delta Gamma对冲还有不足的地方，没有考虑到期权价格受到时间变化的影响，在以后，我们将在以后和大家讨论Delta-Gamma-theta对冲。