Blog

上文讲了正态波动率的由来和为何需要进行转换，算是介绍了问题的背景，本文主要介绍几种从正态波动率转化到Black波动率(lognormal)的方法。

两种转换方法

第一种我把其称为直接转换，其原理非常直接简单粗暴，即直接写下两个模型的SDE方程如下：

 （正态模型）

（Black （lognormal）模型）

然后直接观察两个公式，发现如果正态波动率和Balck波动率之间存在如下关系的话，两个模型的波动率至少是在同一量级上的。

其中为在初始时刻观察到的远期利率水平。

第二种方法相对比较复杂一点，其公式来自于Hagan大神（发明SABR模型的那位）1999年发表的关于如何将CEV模型的波动率转换为Black模型等价波动率的论文（见参考文献）

具体来说，对于具有以下形式的CEV模型：

Hagan大神发现可以找到一个从CEV模型的波动率(a)到Black 波动率（）的转换公式，如下所示：

其中 。

不难发现，如果在上式中取为0，以上公式即可用于正态分布模型的转换。

测试两种转换方法

为了比较这两个模型的优劣，我们可以做一个简单的测试，这个测试的步骤是这样的。

1） 从市场上获取正态波动率。

2）用两种转换方式分别将正态波动率转换为Lognormal波动率

3）理论上来说，转换后的Lognormal波动率应该能与转换前的正态波动率给出一致的利率上限价格。

使用2015年3月的欧元报价数据，使用这一方法计算一系列的利率上限价格。Lognormal波动率和正态波动率给出的价格差异（以bps表示)如下图所示，可以看见两种方法都不能给出很好的结果。

这样的结果并不令人惊讶，因为当利率接近于0时，lognormal分布假设下的远期利率可以波动的区间非常有限（因为波动率取决于利率的绝对水平）而正态分布假设并没有这一限制。因此本质上正态分布和lognormal分布并不具有等价关系。

负利率环境下的转换公式

那么我们怎么办呢？难道在低利率甚至负利率情境下我们找不到这样的转换关系吗？

答案是否定的，其实我们只要简单的对lognormal做一个转换就可以，这个新模型在这两年开始受到了越来越多的关注，即所谓的‘Shifted Lognormal Model'

其中为一个事先指定的正常数，也就是所谓的’Shifted Amount“。可以看到这个模型背后的道理非常简单，就是不是lognormal不能允许远期利率为负么？那我不再假设远期利率为lognormal了，我假设为lognormal总行了吧。这样远期利率本身就可以为负数了()

如果考虑这样一个模型，那么转换公式只要稍作转换即可：

1）直接转换 

2) Hagan转换

其中 

假设，还是进行上节中提到的测试，结果如下所示

可以看出Hagan的公式可以给出得到很好的结果，即使在十年的期限下价格差异也没有超过一个基点。

结论

通过上述分析可以看出，即使在负利率情境下，我们也可以找到一些转换方式将市场报出的正态波动率转换为lognormal形式的转换，而这要求银行实施shifted lognormal模型。而通常来讲这个实施的难度和成本要远远低于将lognormal转换为正态分布的成本。

总体看来，这是一个非常有吸引力的转换方案，但不足之处是需要事先估计，也就是利率可能达到的最低值，在目前这一神奇的市场环境下，这是一个谁也说不准的事情。