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上个世纪80年代，欧美的银行业处于变革时期，1984年英格兰银行通过了英国银行业从事外汇期权交易的法案。伦敦信孚银行（Bankers Trust）的交易员Mark Standish一直从事固定收益衍生品和相关的套利交易工作。David Spaughton 从1984起年就一直在信孚银行（Bankers Trust），从事系统分析相关的工作。1987年Standish和Spaughton一起在日本东京成功合作开发了“可以在金融行业广泛应用的针对原油平均价格期权进行定价的期权公式”。他们称该类奇异期权，为亚式期权。
Mark Standish Photo from Linedin
亚式期权有着很广泛的应用空间。作为场外期权的一种，亚式期权给予持有人的回报取决于标的资产价格在某预定时段中的平均值。与类似的普通合约相比，对标的资产价格取平均显著降低了亚式期权的价格。具有可以降低事先支付期权费的条款往往都会使期权的交易更加活跃。
- l 一段时间股价的平均值波动率低于股价的波动率。这通常会导致亚式期权的价格低于同等的普通期权；
- l 平均值较少受股价突然暴涨暴跌的影响。如果拥有的是一个亚式看涨期权，那么恰好在到期日钱的股价暴跌不会造成任何损失；
- l 同单一股价相比，一段时间内的平均数更难操纵。亚式期权显然可以用在易于操纵、交易量小的标的资产上；
- l 如果在长时间内具有连续且高度可预测的风险暴露，那么可以用平均标的价格期权来锁定商品价格或者汇率；
- l 商品或者能源的终端用户常常会面临一段较长时间中平均价格的风险暴露，因此亚式期权更具有明显的吸引力（亚式期权常常被认为是原油市场中的普通期权）；
具有一系列外币现金流的人（比如出口商）可能会购买亚式期权，他们希望对冲掉汇率的波动。也有亚式尾部期权被设计用来减小到期日前标的资产价格突然变动的风险暴露；一些养老金计划具有这样的特征。
简单来说，亚式期权是一类回报类型由某一段时间内的平均值决定的期权合约。P. Wilmott和E.G. Huang指出，亚式期权在OTC的能源市场或者其他流动性较差的商品期货市场较为普遍。事实上，平均值会减少价格的波动，和障碍期权类似，比常规的欧式期权要便宜。
亚式期权可以分为这样几类，平均价格或者平均敲定价格。
1. 回报类型
假定现在已经定义了平均值A，哪些回报形式是最常见的？除了看涨、看跌等分类外，也有平均对象是执行价（strike）还是标的价格（rate）的分类。这些分类如下所示，比如普通看涨期权的回报为：
将执行价E替换为平均值就成为了平均执行价看涨期权（average strike call），回报为：
而平均执行价看涨期权（average strike put）的回报为：
将普通期权回报中的标的资产价格替换为其平均值，就得到了标的价格期权。比如，平均标的的价格看涨期权（average rate call）的回报为：
平均标的的价格看涨期权（average rate put）的回报为
如果面临一段较长时间中连续且高度可预测的商品价格或汇率的风险暴露，可以使用平均标的的价格期权来锁定价格。
从定价角度来说看涨期权与看跌期权的区别是简单的，但执行价/标的价格是一个较大的区别。执行价期权更容易用数值方法求解。
2. 平均值的类型
要准确定义亚式期权合约中使用的平均值依赖于两个因素：数据点是如何组合为平均值和使用哪些数据点。前者指的是要使用算术平均、几何平均还是其他更复杂的平均，后者指的是在计算平均值时要使用多少个数据点，是使用全部报价还是只是使用一个子集，以及针对哪个时段。
2.1 算术还是几何
两种最简单常见的平均值类型是算术平均（arithmetic average）和几何平均(geometric average)。价格的算术平均是将所有价格等权重加和，除以所使用的价格总数目，再去指数。另一种常见算则是指数加权平均，意思是在计算平均时价格之前不是等权重，而是以指数递减的方式对新的价格赋予比旧的价格更高的权重。
2.2 离散还是连续
计算平均值时要使用多少数据？是使用全部的成交价还是只使用一个子集？如果使用的是一段有限时间内紧密排列的价格，那么在计算平均值的过程中使用的和式就是资产价格（或者函数）在该时间段的积分。这样得到的是连续抽样平均（ continuously sampled average）。 更常见的情况是我们只使用了一些可靠的数据点，比如收盘价这种更小的数据集合。这称为离散抽样（discrete sampling）。
| 支付类型 | 看涨 | 看跌 |
| 平均敲定价格期权 | max (S-A, 0) | max (A-S, 0) |
| 平均标的价格期权 | max (S-E, 0) | max (E-S, 0) |
3. 求解方法
同以前一样，在实际定价时我们希望在蒙特卡罗模拟和偏微分方程方法当中进行选择。二者各有优点和缺点。先介绍蒙特卡罗模拟计算平均价格亚式期权，再通过偏微分方程对连续型几何平均价格的欧式期权进行定价这一种形态，未来我们会介绍离散类型的形态。
蒙特卡罗模拟
期权价值是在风险中性随机过程下回报期望值的现值。
定价算法具体如下。
（1） 以今天的价格水平为起点，模拟资产价格在要求的时间范围内的风险中性随机过程。这样可以得到标的资产价格的一条实现途路径。
（2） 基于这条实现路径计算期权的回报。
（3） 在要求的时间范围内模拟更多的实现路径。
（4） 计算全部实现路径的平均回报。
（5） 计算该平均回报的现值，即为期权价值。
1， 蒙特卡罗模拟的优点
编程很简单。
编程中不易犯错。
2， 蒙特卡罗模拟的缺点
要得到希腊字母需要更多的计算量。
计算过程可能会很慢，因为要得到精确解需要进行上万次模拟。
后面几节我们将讨论偏微分方程方法。但是在此之前，先来看看它优点。
3， 偏微分方程方法的优点
比蒙特卡罗模拟快
更灵活，比如说允许使用更高级的波动率模型
对提前执行处理较好
4， 偏微分方程途径的缺点
编程比蒙特利罗模拟要难
扩展布莱克—斯科尔斯方程
连续抽样平均
我们给出了资产价格随机过程的一条已实现路径及其连续抽样的算术移动平均值， 该平均值定义为：
如果引入新的状态变量
与该平均值有关的期权价格的偏微分方程为
给出了资产价格随机过程的一条已实现路径及连续抽样的几何移动平均值。其中连续抽样几何平均值的定义为
为对依赖这一平均值的期权定价，我们定义
该期权价格的偏微分方程为
价格几何平均亚式期权的解析解如下：
1. 几何平均的价格看涨期权
期权回报为，红利率为D
其中A是连续几何平均值。该期权的价值可以求解得到为：
其中
2. 几何平均的价格看跌期权
该期权的回报为
其中A是连续几何平均值。该期权的价值为：
下一篇我们将看看如何用QuantPlus Analytics软件对连续几何均值的亚式期权进行定价，以及该类期权的希腊字母指标。