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概述

在进行期权定价的时候不仅仅要计算期权的公允价值，也需要进行相应的风险统计，例如delta，gamma，vega等等。这些风险统计量也被称为希腊字母。希腊字母测量了期权价值对于特定变量的敏感性指标，通常用于风险对冲。最为重要的希腊字母就是delta。通过delta的方式对冲期权被称为delta对冲。利用delta对冲期权风险，可以通过做多或者做空一个单位期权对应的delta单位的某个标的资产来实现投资组合的动态平衡。Delta估计的准确性对于构建delta对冲的资产组合就变得尤为重要。更为准确的估计意味着精确度和稳定性之间的平衡。

计算希腊字母特别是Delta有多种方法，下面将对希腊字母的定义和计算做一个总结：

公式和技术细节

希腊字母的定义

Delta	期权价格对于标的资产当前价格的导数。是其他变量保持不变的情况下，期权价格公允价值和当前标的资产价格变化之比。
Gamma	其他变量保持不变的情况下，期权价格的变化率与当前标的资产之比。期权价格对于标的资产价格的二阶导。
Theta	度量了期权价值随时间衰减的速度。在交易中由于Theta值的大小反映了期权购买者随时间推移而损失的价值，也就是期权卖方随时间增加的价值，因此对投资者而言Theta是一个非常敏感的指标。这里的时间期限以年化表示，将时间除以365.
Vega	形容的是期权价格变化与标的证券波动率变化的比率，度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性。
rho	是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权价值对利率变化的敏感性。通常Rho对期权价格的影响较小。

希腊字母估计

希腊字母的解析解

基于BS模型，标准的看涨期权或者看跌期权具备闭合形式的解析解。对于期权来说，闭合公式也是可以推导出相应的希腊字母。对于闭合公式的希腊字母可以参考Haug [1].

二叉树计算得到希腊字母

对于某些类型的期权，例如，百慕大式期权或者美式期权，通常可以通过CRR（CoxRoxRubinstein）等二叉树方法计算得到。通过这种方法，希腊字母，delta，gamma，theta可以直接从用来计算期权公允价值的树模型结构中获取。这个方法避免了再次计算的需要，计算时间可以被节约下来。

重新回顾通过Rubinstein二叉树的方法计算金融工具。对于给定的时间长度，例如，期权的到期期限，时间跨度被步长等分成相同的大小。每期，被称为时间步，与价格情景相联系，称为时间节点。每个时间节点都有两个分支，一个分支向上，一个分支向下。 期初，标的资产价格,在下一步，价格会上涨到 , 这里 , 或者下跌到 。

Delta

将表示为标的资产的即期价格，是期权的公允价值。所以，可以估计期权的delta为：

这里 是期权价值的变化量，是标的资产的价格变化量了 。在二叉树中，让 和 分别表示为 和 的期权价格。这里期权的delta可以通过下面的函数计算得到：

Gamma

Gamma可以通过delta变化与标的资产价格变化之比得到。计算gamma，在第2步节点处的期权价格是需要计算得到的。假设第2步的公允价值为相应可能的标的资产价格为，注意，这里。为了估计gamma，这里两个delta可以通过下面公式计算得到：

标的资产的变化为：

gamma可以通过以下公式计算得到：

Theta

Theta是期权价格的变化和时间变化之比，这里其他参数保持不变。在第2步，中间节点价格和标的资产在0时刻相等，对于theta估计可以由以下公式获得：

对于更多有关二叉树和希腊字母估计可以参考Hull[2]的专著。

颠簸算法（BumpingMethod）计算希腊字母

大部分奇异期权的希腊字母没有简单的闭合形式的解。如果这个期权不使用二叉树方法做估值，或者希腊字母不能直接从树方法中计算得到，就需要引入其他的数值方法来计算希腊字母。这里引入颠簸算法的概念，也是计算函数导数的标准方法。这个方法可以用来估计函数的一阶导数和二阶导数。

这里一阶导数的计算可以由以下函数计算得到：

A.单边颠簸估计算法计算如下：

.

B.对于双边的估计计算如下：

.

二阶导数估计如下：

.

选择颠簸的大小

这里就出现了最为核心的问题，如何选择颠簸值的大小。数学上来说，如果函数的导数存在，颠簸值越小，估计的导数越精确。可是，在现实计算过程中，太小的颠簸值并不是一个好的解决方案。太小的颠簸值有可能导致估计的不稳定。当颠簸值递减，结果的导数值有可能由于变量的微小变动而变得不稳定。为了避免这样的不稳定性发生，这里可以使用单边或者双边估计法，如上所示。

示例

我们看这样一个示例，考虑这样一个美式看涨期权——期限为3个月，行权价格为40。目前标的资产的价格为43，无风险利率为23%，波动率为20%。分别用美式期权的近似解和CRR二叉树计算期权的价格以及相应的delta和gamma。

经过计算，我们会发现，利用近似解计算得到的delta为0.79813347，gamma为0.06592265，但是对于CRR树模型计算得到的delta为0.80084987，差异不大，但是gamma值变得非常小。这是什么原因呢？

其实主要原因来自于二叉树方法的收敛性，我们利用颠簸算法作为变化的值为0.0001，非常小，这样传入CRR模型中计算得到的期权值的变化也非常小，经过计算得到的gmma值也会非常小。下表列出了利用不同的二叉树方法同样经过2000步计算得到的delta和gamma。我们会发现利用LR和JOSHI方法计算得到的gamma比较接近于近似解的结果，这是由于LR和JOSHI方法用到加速收敛的算法。使用颠簸算法对于树方法计算美式期权的gamma还是要针对不同的方法谨慎使用。

简称	全称	步数	Delta	Gamma
BSA	Bjerksund and Stensland pricing method for American options	近似解	0.79813347	0.06592265
BAWA	Barone-Adesi and Whaley pricing method for American options	近似解	0.79813347	0.06592265
CRR	Cox-Ross-Rubinstein (multiplicative) equal jumps binomial tree.	2000	0.80084987	-0.00000058
AEQPB	Additive equal probabilities binomial tree.	2000	0.79876018	-0.00000098
TRI	Trigeorgis (additive equal jumps) binomial tree.	2000	0.80084987	-0.00000053
JR	Jarrow-Rudd (multiplicative) equal probabilities binomial tree	2000	0.79876316	0.00000058
TIAN	Tian tree: third moment matching, multiplicative approach.	2000	0.79457446	-0.00000004
LR	Leisen & Reimer tree: multiplicative approach.	2000	0.79822871	0.06592318
JOSHI	Joshi tree: multiplicative approach.	2000	0.79822869	0.06606227

以上的方法均是由金融衍生工具估值工具QuantPlusAnalytics计算得到，如果对本文感兴趣可以到QuantPlusAnalytics网站申请试用账户以及下载本案例。

参考

[1] Haug, E. G., (1997), The Complete Guide to Option Pricing Formulas, McGraw-Hill.

[2] Hull, John, (1997), Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd ed., Upper Saddle River, Prentice Hall.

[3] Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott on Quantitative Finance, 2nd ed., Chichester: John Wiley & Sons Ltd.